Plan factoriel fractionnaire

 

Plan factoriel fractionnaire

Quand on calcule le nombre d’essais total (plan factoriel complet) que l’on devrait faire pour couvrir toutes les variations de chacun des facteurs : on prend peur !

En effet si j’ai 7 facteurs :

  • 3 facteurs à 2 niveaux,
  • 3 facteurs à 3 niveaux,
  • 1 facteur à 4 niveaux,

J’obtiens :       23 * 33 * 41 = 8 * 27 * 4 = 864 essais : ce qui est irréalisable !

La première stratégie consiste à réduire le nombre de niveaux de tous les facteurs, ou que les différents nombre de niveaux soient multiple les uns des autres (2 et 4 car 4 est multiple de 2). On aboutit ainsi à 7 facteurs à 2 niveaux (27 = 128) : on a réduit par 7 le nombre d’essais ! Ce qui reste encore irréalisable !

 

La deuxième stratégie consiste à ne prendre qu’une fraction des essais du plan complet d’où le nom de plan fractionnaire ou plan factoriel fractionnaire) : mais quels essais choisir ? Les mathématiciens ont défini que tous les essais n’étaient pas égaux c’est-à-dire ne rapportaient pas la même quantité d’information. Le critère d’orthogonalité (chaque essai est combiné un même nombre de fois avec chaque niveau de chaque facteur) permet de déterminer un nombre minimal d’essais très parlant.

 

Les matrices orthogonales ont été définies une fois pour toute par les mathématiciens : il n’y a qu’à les utiliser. Pour notre exemple de 7 facteurs à 2 niveaux : la plus petite matrice comporte seulement 8 essais ! La voici :

matrice taguchi L8

Matrice orthogonale L8

Cette matrice rapporte environ 90% de l’information contenue dans les 128 essais : soit beaucoup mieux que la loi de Pareto ou des 20/80 (ici 8/128 soit 7% des essais rapportent 90% de l’information) è il serait criminel (d’un point de vue économique) de vouloir faire autre chose que ces 8 essais.

 

Genichi Taguchi, le vulgarisateur des plans d’expériences, ne propose d’utiliser que des matrices orthogonales fractionnaires donc de ne réaliser qu’un plan factoriel fractionnaire.

 

Ces matrices, quand tous les facteurs sont à 2 niveaux, permettront d’en établir d’autres (par combinaison) pour l’étude de facteurs à 4 niveaux ou de facteurs à 2 niveaux et de leurs interactions de 1er ordre  :

  • Une matrice L16 permet l’étude de 15 facteurs à 2 niveaux,
  • Ou de 5 facteurs à 4 niveaux,
  • Ou de 5 facteurs à 2 niveaux (A, B, C, D et E) et de leurs 10 interactions de 1er ordre (AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE et DE).

 

Sauf si le nombre de facteurs est très faible ainsi que le nombre de niveaux (en général jusqu’à 16 essais) on peut supporter un plan factoriel complet : on réalise quasi systématiquement un plan factoriel fractionnaire !