Divers plans d’expériences

 

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Divers plans d’expériences

Pour être exhaustif beaucoup d’autres types de plans existent :

– Plans en carré gréco-latin (Sir Ronald Aylmer Fischer);

– Plans de Plackett et Burman;

– Plans de Rechtschaffner;>

– Méthode du simplexe;

– Plans composite centré (Box et Wilson);

– Réseaux uniformes de Doehlert;

– Plans optimaux.

Nous nous attacherons à commenter en quoi ces divers plans sont adaptés ou non à la résolution par des non spécialistes de problèmes liés à la dispersion des caractéristiques à optimiser.

L’ensemble des informations qui suivent proviennent de l’excellent panorama réalisé entre 1996 et 2005 par l’association Expérimentique : « Les Plans d’expériences » sous la coordination de François Louvet et Luc Delplanque paru en oct 2005.

Ces plans ont été créés selon les lois d’évolution suivantes :

Si nous avons déjà décrit la notion d’orthogonalité, la notion d’optimalité peut se traduire par l’obtention d’une matrice d’expérimentation à la carte (en laissant la possibilité d’affecter à chaque facteur un nombre spécifique de niveaux et ne prenant en compte éventuellement qu’une partie des interactions) : cette sophistication est hors de portée de la plupart des expérimentateurs. De plus les plans non orthogonaux ne sont pas adaptés à la recherche d’une solution dont on cherche prioritairement à optimiser la dispersion.

Plans en carré gréco-latin et hyper gréco-latin

ont été appliqués à l’agronomie dès 1924.

Principe de construction :

se traduisent par les matrices particulières (intégrés par Taguchi) :

L9 (4 facteurs à 3 niveaux),

L16 (5 facteurs à 4 niveaux),

L25 (6 facteurs à 5 niveaux).

Plans de Plackett et Burman

destinés à l’étude des effets moyens d’un grand nombre de facteurs à 2 niveaux (plan de criblage) ont été définis dès 1946.

Principe de construction :

Ces plans se traduisent par les matrices (intégrés ou non par Taguchi) :

L4 ( 3 facteurs à 2 niveaux)

L8 ( 7 facteurs à 2 niveaux)

L12 (11 facteurs à 2 niveaux)

L16 (15 facteurs à 2 niveaux)

– L20 (19 facteurs à 2 niveaux) : non proposée par G. Taguchi

– L24 (23 facteurs à 2 niveaux) : non proposée par G. Taguchi

L32 (31 facteurs à 2 niveaux)

Plans de Rechtschaffner

Ces plans sont disponibles pour 2 et 3 niveaux ce qui autorise à la fois le criblage et l’optimisation, ils ont été définis dès 1967. Ce sont des plans orthogonaux et saturés. Ils permettent l’estimation de tous les effets principaux et de toutes les interactions du premier ordre sans confusion. Les plans à 2 niveaux sont utiles pour le criblage, avec 6 facteurs ou plus, et une faible connaissance de l’importance de chacune des interactions d’ordre 1. Dans ce cas, il est intéressant d’estimer toutes les interactions d’ordre 1, sans confusion, puis d’éliminer celles qui sont non significatives pour dégager quelques degrés de liberté pour l’analyse des résidus et les diagnostics.

Voici 4 exemples de matrices :

à comparer avec les L8 (k=3) et L16 (k=4 et 5) : l’économie d’essais est faible ou nulle !

Il est très rare que l’ensemble des facteurs considérés soient chacun en interaction avec tous les autres, en général quelques essais permettent d’isoler les quelques facteurs en interaction.

Taguchi a proposé une matrice L16 pour l’étude de 5 facteurs à 2 niveaux et de leurs 10 interactions de niveau 1.

Méthode du simplexe

Méthodologie développée dès 1960 consistant à ne faire varier qu’un facteur à la fois tout en ne dépendant pas du choix du réglage initial de chaque facteur.

Principe de construction :

Illustration avec 2 facteurs U1 et U2 dont le réglage initial commun est 5, puis on réalise U1=15 et U2=5, puis U1=5 et U2=15, on classe ces 3 essais en ordre décroissant de performance (B)est, (N)ext to the worst et (W)orst; (W) sera éliminé et l’on construira (R)eflect comme le symétrique de (W) par rapport aux 2 autres essais; l’essai R sera fait avec U1=15 et U2=15. On compare ces 3 points et ainsi de suite.

La convergence vers un point optimum est d’autant plus longue que que le simplexe initial est éloigné de l’optimum et que le pas de variation des facteurs est petit. D’où introduction à partir de 1965 du simplexe à pas variable. N’est applicable que sur un petit nombre de facteurs et si l’on ne cherche qu’à optimiser une seule caractéristique à la fois !

Plans composites centrés

Ces plans sont principalement utilisés pour l’obtention de surfaces de réponses (modèles de comportement d’un produit (polynomiaux du 2<nd degré) utilisant un petit nombre de points représentant au mieux la totalité de l’espace étudié) lesquelles permettent la localisation rapide d’un optimum. Ceux de Box et Wilson consistent à rajouter des points en étoile par rapport à un plan factoriel complet en plus de n0 répétitions effectuées au point central.

2 postulats (l’isovariance par rotation et la précision uniforme) sont à la base de leur interprétation. Or ces postulats sont souvent mis à mal par les faits expérimentaux !

Réseaux uniformes de Doehlert

C’est une autre forme de plans composites centrés où les points d’essai sont tous à équidistance d’un point central (point de fonctionnement connu) et leur nombre est égal à :

N = 2k + 2k + n0

k étant le nombre de facteurs et n0 le nombre de répétitions effectuées au point central

On remarquera que la construction des points se fait à partir d’un simplexe.

Plans optimaux

le nombre d’essai minimal (P) est lié : au nombre de niveaux de chacun des facteurs étudiés et au nombre d’interactions (modèle quadratique ou de rang supérieur).

Le nombre d’essais retenu sera déterminé par calcul et sera évidement supérieur au nombre ci-dessus. Le calcul ultérieur sert à déterminer quels sont les N essais pris parmi la totalité qui fourniront l’information optimale (quantité d’information, variance, covariance) en utilisant un algorithme d’échange entre les essais.

La matrice aura autant de lignes (N) que d’essais et autant de colonnes que le nombre P, le produit de la transposée de cette matrice par cette même matrice nous donnera la matrice d’information. C’est sur cette matrice d’information que seront effectué les calculs. On utilise l’algorithme d’échange et on regarde si les indicateurs d’optimalité progressent, on s’arrête lorsqu’on obtient un optimum. On rajoute ensuite progressivement un essai (donc la matrice grossit), et on regarde si les indicateurs d’optimalité progressent encore. Le résultat est un compromis entre un nombre d’essais (supérieur à P) et l’optimalité de l’information obtenue.

Cette complexité de construction est complétée par celle de l’interprétation : même si on réalise une économie d’essais, celle-ci est-elle contre balancée par la fiabilité de l’interprétation d’une expérimentation orthogonale ? Notre avis est négatif.

Ces plans sont utilisés par certains logiciels : voir article sur autres logiciels

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