Plan dynamique

 

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Principe du plan dynamique

Le domaine traditionnel d’utilisation des plans d’expériences concerne des produits ou des processus dans lesquels les caractéristiques fonctionnelles ou dimensionnelles à optimiser doivent respecter des valeurs bien spécifiées. Ces produits ou processus, que nous allons désigner sous le terme générique de « systèmes », peuvent être qualifiés de statiques, pour signifier la permanence (ou stabilité) des valeurs que leurs caractéristiques doivent respecter.

Quand la réponse du système dépend de la valeur d’un paramètre d’entrée agissant sur ce système, celui-ci doit être considéré comme un système dynamique pour lequel on utilisera un plan dynamique.

Un appareil de mesure est l’exemple type de système dynamique : la réponse de l’appareil, c’est-à-dire la valeur qu’il indique, est fonction de la valeur mesurée.

Le schéma ci-dessous le paramètre d’entrée agissant sur le système, appelé « Facteur signal » est symbolisé par « Fs », et la valeur de la réponse, par « y ».

système-dynamique

La relation existant entre les valeurs de Fs et y s’écrit : y = f(Fs) (lire : y est fonction de Fs)

Cette relation synthétise la fonction intrinsèque du système.

Il existe une relation idéale, en principe bien définie par les concepteurs du système, entre les valeurs du facteur signal Fs et de la réponse y. Toutefois, dans la réalité, divers autres facteurs maîtrisables, agissant également sur le système, peuvent influer qualitativement et quantitativement sur cette relation.

De plus, des facteurs parasites, peu ou non maîtrisables, peuvent la perturber de façon sporadique ou intempestive.

 

Pour améliorer la performance d’un tel système, il faut :

– se rapprocher le plus possible de la relation idéale devant exister entre le signal d’entrée et la réponse de sortie (c’est-à-dire minimiser les distorsions éventuelles existant entre la relation réelle et la relation théorique idéale),

– améliorer la fiabilité de cette relation (c’est-à-dire minimiser la variabilité due aux facteurs bruits non maîtrisables),

– obtenir une sensibilité suffisante de cette relation (c’est-à-dire que le système réponde de façon significative à une très faible modification de la valeur du facteur signal).

C’est donc comme cela que l’on analysera les résultats d’un plan dynamique.

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Champ d’application des systèmes dynamiques

Les systèmes dynamiques sont essentiellement répartis en deux catégories :

Systèmes passifs de mesure, de toutes natures (jauges de contrainte, balances, voltmètres, pyromètres, manomètres, chromatographes, …), pour l’optimisation des caractéristiques :

– Justesse (ce qui signifie que la réponse est toujours proportionnelle au signal d’entrée et que le système est facilement étalonnable), à l’intérieur d’une plage de mesures bien définie.

– Sensibilité maximale.

– Fidélité (répétitivité du résultat pour une même valeur mesurée).

Systèmes automatiques d’asservissement, de régulation (thermostats, transmissions automatiques, boucles de correction de réglage de machines-outils, …), pour l’optimisation des caractéristiques :

– Justesse (respect de la fonction prévue pour l’automatisme).

– Fidélité (répétitivité de l’action pour une même valeur du facteur signal).

Nota : D’autres types de systèmes dynamiques non évoqués ici, sont présentés dans le livre « Pratique industrielle des plans d’expériences » au chapitre 6.

On notera que cela est assez différent des notions standard de systèmes dynamiques (voir Wikipedia).

Le plan dynamique est capable de traiter ces 3 cas.

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Mesure de la performance d’un système dynamique

Pour les systèmes statiques la performance optimale est obtenue, pour chacune des caractéristiques à optimiser, quand on maximise leur rapport Signal/Bruit (cf. Un indicateur de performance : le rapport Signal sur Bruit).

Pour le plan dynamique, la philosophie d’un indicateur synthétique de mesure de la performance reste la même, mais sa définition diffère quelque peu. Cet indicateur doit prendre simultanément en compte :

– les écarts, à combattre, entre la relation idéale souhaitée y = f (Fs) et la relation réelle constatée,

– la variabilité, également à combattre, de la réponse du système due à l’influence des facteurs peu ou non maîtrisables qui l’environnent,

– la sensibilité du système, c’est-à-dire sa capacité de répondre de façon perceptible à une très faible variation de la valeur du signal d’entrée : elle est à maximiser.

En regroupant les deux types d’écarts ci-dessus sous le terme générique de variance du système, il est évident que la performance d’un système dynamique sera d’autant plus grande que le rapport :

Sensibilité du système / Variance du système

sera plus grand.

D’autre part, en plus de la caractéristique dynamique d’un système, il arrive fréquemment que l’on veuille optimiser solidairement d’autres caractéristiques de nature statique, telles que : planéité d’une face, niveau sonore à minimiser, etc.… Pour faciliter la recherche du meilleur compromis final d’optimisation de l’ensemble des caractéristiques dynamiques et statiques, il est nécessaire que les formules des ratios Signal/Bruit dynamiques respectent également les règles suivantes :

 – L’unité de valorisation doit être identique à celle déjà utilisée pour les ratios Signal/Bruit des caractéristiques statiques (cf. Un indicateur de performance : le rapport Signal sur Bruit)

– Pour faciliter son interprétation, il est nécessaire que la maximisation de la valeur algébrique du ratio Signal/Bruit corresponde toujours à la maximisation de la performance du système.

 

Les relations relatives aux caractéristiques dynamiques se répartissent en trois catégories :

Relations continues de forme linéaire.

système dynamique linéaireLeur équation est y = A Fs + B, où :

A = le coefficient angulaire (ou pente) de la droite,

B = une constante, correspondant à la valeur de y quand Fs = 0 (zéro)

Relations continues de forme non linéaire.

plan-dynamique-relation-continue-non-lineaire

Leur forme, imposée par les concepteurs du système, peut être quelconque, par exemple la forme quadratique pour la relation : y = f (Fs2 + B) .

Relations discontinues de forme binaire.

système dynamique discontinuDans ce type de système, lorsque la valeur du facteur signal atteint une valeur cible fixée, la valeur de la réponse doit basculer instantanément de l’une à l’autre des 2 positions, par exemple : « 0 » (zéro) et « 1 » (ou « marche » et « arrêt ») pour le thermostat d’un four.

Il est alors exclu d’analyser son évolution entre ces deux valeurs. Cette impossibilité fait perdre beaucoup d’informations utiles quand on veut déterminer les effets des facteurs qui agissent sur ce type de systèmes.

Cette valeur cible pouvant être quelconque à l’intérieur de la zone d’utilisation du système, il est nécessaire de tester plusieurs valeurs cibles. Pour cela on utilise un facteur signal comprenant deux composantes :

– sa valeur cible (ou valeur de référence)

– deux autres valeurs, situées de part et d’autre de cette valeur cible, servant à tester réellement le système

systeme-dynamique

Par exemple, un thermostat doit fonctionner dans une plage de 100° à 400°.

Quand la température réelle est inférieure à celle demandée sa réponse doit être « 0 », et « 1 » quand elle est égale ou supérieure.

Dans l’expérimentation réalisée pour optimiser son fonctionnement, on décide de le tester aux 4 valeurs cibles : 100°, 200°, 300° et 400°. Pour chacune d’elles, on soumet le thermostat à des températures réelles, soigneusement contrôlées, de + 2° et – 2° par rapport à la valeur cible.

On répète 4 fois le test (par exemple un test toutes les deux heures) afin de prendre en compte l’influence des facteurs bruits qui environnent le thermostat.

Les résultats obtenus sont récapitulés :

matrice de plan dynamique d'une relation discontinue

Pour chacune des 4 valeurs cibles du facteur signal, on a un couple de réponses idéales et réelles. Dans chacun de ces couples, l’exploitation des résultats devient justiciable d’un système de relations continues de forme non linéaire.

Nota :

Les calculs des moyennes seront normalement effectués à partir des « Réponses de sortie ».

Par exemple : Pour Fs11 : la moyenne des 4 réponses 1, 0, 1, 1 est : 0,75.

Elle n’a évidemment pas de signification physique, puisque les réponses ne peuvent prendre que les valeurs « 0 » ou « 1 ». Elle n’a qu’une utilisation statistique pour le calcul des écarts.

Le logiciel KitTag traite tous ces cas de plans dynamiques.

Tous ces plans font l’objet de cours que vous pouvez télécharger.

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Consulter le chapitre : Un indicateur de performance : le rapport Signal sur Bruit

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