Matrices d’expériences

 

Les matrices d’expériences orthogonales

Une matrice d’expériences est une façon de représenter une succession d’essais (lignes) au sein desquels on fait varier différents paramètres (colonnes).

Les essais de mise au point de la conception d’un produit ou de son processus de fabrication font partie intégrante du métier des ingénieurs et des techniciens. Ceux-ci sont fréquemment amenés à rechercher les valeurs des paramètres qui définissent les produits (cotes dimensionnelles, compositions des matières utilisées, etc.) ou les paramètres de réglage des moyens de production (pression d’injection de matière plastique, tension de courant d’une électrolyse, etc.), afin d’obtenir les performances désirées.

On peut réaliser des essais successifs à partir des résultats des précédents essais ou réaliser un plan factoriel complet (toutes les combinaisons de tous les facteurs et de tous leurs niveaux) ce qui en général irréaliste ou mieux un plan factoriel fractionnaire (la fraction la plus parlante d’un plan complet).

Le rôle d‘une matrice d’expériences est d’organiser la réalisation d’un plan d’expériences, avec un nombre minimum d’essais à effectuer, afin de déterminer avec un maximum de précision l’influence respective de chacun des différents facteurs contrôlés  (de conception ou de fabrication) d’un produit.

Les principes de ces matrices d’expériences ont été abordés au début du vingtième siècle par un Anglais Ronald A. Fisher et un Français Jacques Hadamard. Mais leurs techniques ont relativement peu pénétrées le domaine industriel du fait de leur caractère trop théorique et de la complexité de leur mise en œuvre.

Un des grands mérites de Genichi Taguchi, est d’avoir mis au point des outils qui simplifient, et surtout fiabilisent, considérablement cette tâche. Ces outils (détaillés dans l’Appendice 2 du livre « Pratique industrielle des plans d’expériences ») sont :

– une collection de matrices factorielles fractionnaires orthogonales standards,

– des “ accessoires ” nommés : tables triangulaires et  graphes linéaires, dont le but est de faciliter l’utilisation des matrices standard et permettre leur adaptation à des situations spécifiques.

Pour expliciter simplement les caractéristiques des matrices factorielles fractionnaires orthogonales, nous allons prendre comme exemple, celle d’un plan d’expériences  relatif au processus industriel d’émaillage de pièces en tôle.

Les 7 paramètres (les facteurs contrôlés) et leurs 2 niveaux de valeur respectifs à tester, sont :

définition des facteurs et niveaux

L’étude des résultats de toutes les combinaisons possibles des 2 niveaux de valeur de chacun des 7 facteurs contrôlés serait exhaustive, mais nécessiterait un nombre, prohibitif, de : 27= 128 essais !

Dans une matrice factorielle complète, les informations données par chacune des combinaisons des niveaux des facteurs contrôlés, c’est-à-dire par chacun des 128 essais effectués, n’ont pas toutes, la même utilité pratique. En d’autres termes, certains essais apportent plus d’informations utiles que d’autres.

C’est à partir de cette observation, qu’ont été conçues les matrices fractionnaires orthogonales.

Pour expliciter simplement le concept d’orthogonalité, nous allons utiliser l’exemple concret du processus industriel d’émaillage des pièces en tôle.

La matrice fractionnaire orthogonale à utiliser ne comprend que 8 essais, soigneusement sélectionnés parmi les 128 essais du plan factoriel complet correspondant :

Matrice factorielle fractionnaire de 7 facteurs à 2 niveaux

Cette matrice comprend :

– colonne de gauche, les numéros des 8 essais à effectuer,

– colonnes centrales, les niveaux 1 ou 2, respectifs des 7 facteurs contrôlés A, B, C, D, E, F et G,

– colonne de droite, les résultats respectifs R1, R2, ……, des 8 essais.

Dans cette matrice, il est facile de constater que chaque niveau de chaque facteur est combiné à chaque niveau des autres facteurs, et ce, un nombre égal de fois.

Par exemple, les facteurs étant simplement désignés par leurs repaires A et B :

– quand A est au niveau 1 (essais n° 1 à 4), B est 2 fois au niveau 1 (essais n° 1 et 2) et 2 fois au niveau 2 (essais n° 3 et 4),

– quand A est au niveau 2 (essais n° 5 à 8), B est encore 2 fois au niveau 1 (essais n° 5 et 6) et 2 fois au niveau 2 (essais n° 7 et 8).

En conséquence, lorsqu’on compare les résultats moyens du facteur contrôlé A :

A au niveau 1 = ¼ (R1 + R2 + R3 + R4)

A au niveau 2 = ¼ (R5 + R6 + R7 + R8)

on peut être certain que l’effet de B intervient avec le même poids dans A1 et A2.

Dans une matrice orthogonale, le même phénomène peut être constaté entre n’importe quel couple de facteurs contrôlés.

Dans la mesure où, dans un plan d’expériences, toutes les combinaisons de facteurs contrôlés respectent cette orthogonalité, il n’y a pas de mélange entre leurs effets.

Cette caractéristique d’un plan d’expériences est fondamentale pour analyser correctement l’influence des niveaux des différents facteurs contrôlés, car il est possible d’effectuer des essais dans des conditions variées.

Un facteur contrôlé dont l’effet peut être mesuré dans des conditions variées, a de bonnes chances que cet effet soit reproductible en dépit des fluctuations des conditions de fabrication ou d’utilisation.

L’édification de matrices fractionnaires orthogonales est hors de portée des non-spécialistes ! (voir pour leur construction).

Genichi Taguchi a défini une série de matrices standard qui permettent de faire face à pratiquement toutes les situations.

La bibliothèque du logiciel KitTag contient 35 matrices fractionnaires orthogonales préétablies, directement utilisables.

Depuis plus de vingt années de pratique des plans d’expériences, dans les domaines technologiques les plus variés, si l’étude technique préliminaire du plan d’expériences est correctement effectuée, on peut affirmer que cette panoplie de matrices est largement suffisante pour faire face à pratiquement toutes les situations.

Au chapitre suivant nous aborderons l’indicateur de performance industrielle : le Rapport Signal sur Bruit.

(Vous pouvez consulter nos prestations de service)